Periodic solutions of linear systems whith asymmetric variable rank matrix in the derivatives

Abstract

The effective sufficient conditions for a positive definite symmetrization of a differential operator based on a system of two linear first order ordinary differential equations with an asymmetric variable rank matrix in the derivatives were established. According to these conditions, the existence of a periodic solution for the arbitrary periodic inhomogeneity and the Galerkin iterative method of its approximate construction was confirmed. The approach for the research of n numbers of the equations, where n > 2, was described.В різних галузях сучасної науки і техніки зустрічаються процеси, які моделюються лінійними системами звичайних диференціальних рівнянь із вироджуваною матрицею при похідних. Систематичне вивчення таких систем розпочалося порівняно недавно, з початку 70-х років минулого століття. На цей час найбільш розвиненою є теорія вироджених лінійних систем зі сталими коефіцієнтами. Що ж стосується теорії вироджених систем зі змінними коефіцієнтами, то її розвинуто значно меншою мірою. Найповніше досліджено випадок сталого рангу матриці при похідних. Теорія існування періодичних та квазіперіодичних розв’язків для змінного рангу матриці при похідних далека від завершення й розроблена для додатно визначених симетричних систем, а також у випадках, коли цей ранг змінюється від 0 до 1 або від n – 1 до n. Досліджено достатні умови існування єдиного періодичного розв’язку системи двох лінійних диференціальних рівнянь із матрицею при похідних, ранг якої змінюється від 0 до 2, для довільної періодичної неоднорідності. Встановлено достатні умови виконання апріорних оцінок для диференціального оператора, породженого вихідною системою, на підставі яких можна побудувати з допомогою ітераційного методу Гальоркіна наближення до шуканого періодичного розв’язку, а також їх збіжність. При цьому вимагається існування неперервних похідних другого порядку коефіцієнтів системи, що зумовлено методом, використаним для обґрунтування процесу Гальоркіна. Ця вимога є типовою для функціональних методів математичної фізики. Як приклад, досліджено систему, яку не вдається вивчити розробленими раніше методами. Вказано підхід до узагальнення отриманих результатів для випадку систем більшого числа диференціальних рівнянь. На цьому шляху потрібно досліджувати існування гладких періодичних розв’язків систем алгебраїчних лінійних неоднорідних рівнянь. Отримані в роботі результати можуть бути використані при розв’язуванні задачі про існування періодичних розв’язків лінійних систем диференціальних рівнянь вищих порядків, у яких матриця при старшій похідній є несиметричною й виродженою.