Robust stability and evaluation of the quality functional for linear control systems with matrix uncertainty

Abstract

New methods of robust stability analysis for equilibrium states and optimization of linear dynamic systems are developed. Sufficient stability conditions of the zero state are formulated for a linear control systems with uncertain coefficient matrices and measurable output feedback. In addition, a general quadratic Lyapunov function and ellipsoidal set of stabilizing matrices for the feedback amplification coefficients are given. Application of the results is reduced to solving the systems of linear matrix inequalities.В даній роботі розроблено нові методи аналізу робастної стійкості стану рівноваги і оптимізації лінійних систем керування із зворотним зв’язком по виходу. В системах керування присутні матричні невизначеності, значення яких задані обмеженнями по нормі, а вимірний вектор виходу містить компоненти як стану системи, так і керування. Для таких систем сформульовано достатні умови стійкості нульового стану рівноваги. Практична реалізація отриманих методів зводиться до розв’язування алгебраїчних лінійних матричних нерівностей. Відмінною особливістю отриманих лінійних матричних нерівностей від відомих є можливість побудови еліпсоїда стабілізуючих матриць коефіцієнтів підсилення зворотного зв’язку, спільної квадратичної функції Ляпунова, а також верхньої оцінки квадратичного функціоналу якості для лінійних систем керування з розглянутими невизначеностями. Результати роботи отримані на основі відомих узагальнень твердження достатності леми Пітерсена про матричні невизначеності. Як приклад розглянуто застосування отриманих теорем для стабілізації та оптимізації системи керування двійним осцилятором. Для розв’язування побудованої системи лінійних матричних нерівностей застосовано ефективні засоби LMI Toolbox комп’ютерної системи Matlab. Отримані достатні умови стійкості стану рівноваги і оптимізації лінійних динамічних систем в загальному випадку мають теоретичний характер. Їх практичне використання в задачах робастної стабілізації по виходу на основі побудови квадратичних функцій Ляпунова з невизначеними матрицями потребує спеціальних методів знаходження матриці, яка визначає центр еліпсоїда. Це є однією із актуальних задач наступних досліджень. Отримані в роботі результати можуть бути використані при розробці алгоритмів робастної стабілізації і оптимізації динамічних систем, наприклад, із зовнішніми збуреннями.