Алгоритми перевірки на простоту для криптографічних перетворень

Abstract

У ході дослідження було встановлено, що проблема генерації простих чисел великої розрядності та тестів простоти є фундаментальною для сучасної криптографії, оскільки саме такі числа забезпечують високий рівень стійкості криптографічних протоколів до атак, пов’язаних із факторизацією та обчисленням дискретних логарифмів. Аналіз наявних підходів показав, що генерація великих простих чисел ґрунтується на комбінації швидких імовірнісних тестів простоти, методів випадкового вибору кандидатів та використанні чисел спеціального виду, що дозволяє значно зменшити обчислювальне навантаження при створенні криптографічних ключів. Запропоновано та реалізовано експериментальний алгоритм пошуку множників числа через перебір залишків у системі залишкових класів. Розроблено оптимізований алгоритм на базі тесту Міллера–Рабіна на основі фіксованих баз і попереднього відсіву.

During the study, it was found that the problem of generating large-digit prime numbers and tests for simplicity is fundamental for modern cryptography, since it is such numbers that provide a high level of resistance of cryptographic protocols to attacks related to factorization and calculation of discrete logarithms. The analysis of existing approaches showed that the generation of large prime numbers is based on a combination of fast probabilistic tests of simplicity, methods of random selection of candidates and the use of numbers of a special type, which allows to significantly reduce the computational load when creating cryptographic keys. An experimental algorithm for finding the factors of a number by searching for residues in the system of residue classes is proposed and implemented. An optimized algorithm based on the Miller–Rabin test based on fixed bases and preliminary screening is developed.